Método de Jacobi

 Método de Jacobi

Es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.

Un método iterativo con el cual se resuelve el sistema lineal A x = b comienza con una aproximación inicial x (0) a la solución x y genera una sucesión de vectores x (k) que converge a x. Los métodos iterativos traen consigo un proceso que convierte el sistema A x = b en otro equivalente de la forma x = T x + c para alguna matriz fija T y un vector c.

Luego de seleccionar el vector inicial x (0) la sucesión de los vectores de la solución aproximada se genera calculando:

X (k) = Tx(k-1) + c

Para cada k = 1, 2,3,....

Método de Pivoteo Parcial

Método de Pivoteo Parcial

Una técnica que se desarrolla para combatir los errores de truncamiento por ceros en la diagonal o los errores de redondeo por números cercanos a cero es la técnica de pivoteo parcial, esta técnica consiste en ubicar en la fila pivote el termino de mayor magnitud de tal forma que al realizar la división por dicho termino no se incurre en la violación de división por números cercanos a cero ni la división por cero.

Se define entonces como:

En cada etapa k se busca el mayor de los elementos de la columna k, que ocupan posiciones mayores o iguales que k, ocupe la posición akk, donde k<=i<=n. después se realiza el intercambio de filas. El proceso como tal es idéntico a eliminación gaussiana simple solo que antes de calcular los multiplicadores se realiza el pivoteo si es necesario. Al realizar el pivoteo se obtienen valores lo más pequeños posibles para los multiplicadores reduciendo así el error de redondeo.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

 Método de Gauss-Jordan

En álgebra lineal, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así en honor de Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo que se usa para determinar la inversa de una matriz y las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

3. 4 Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de

ecuaciones de n numero de variables.

Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se

aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso.

El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están los

coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples

operaciones de suma, resta y multiplicación.

El procedimiento es el siguiente:

Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede

ser de n numero de variables por ejemplo:

 -3x+3y+2z=1

 4x+y-z=2

 x-2y+z=3

Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:

En el ejemplo, el -3 de la primera matriz se tiene que convertir en un 1, según la matriz

identidad, así que hay que dividir entre -3, pero como una operación se aplica a toda la

fila, entonces toda la primera fila se tiene que dividir entre –3:

Después, como se ve en la matriz identidad, hay que hacer 0 toda la columna debajo del

1, y se hace multiplicando por algo la fila de arriba y sumándola a la fila de abajo.

En este caso, se multiplica por -4 la fila de arriba y se suma con la correspondiente

posición de la fila de abajo:

 

Método de Gauss-Seidel

 Método de Gauss-Seidel

En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.